LeetCodeCampsDay41动态规划part08

股票问题从入门到通关

121. 买卖股票的最佳时机

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

1
2
3

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 104

动态规划思路

dp数组含义

dp[i][0]表示第i天持有股票所得最多现金

dp[i][1]表示第i天没有股票所得最多现金

递推公式

如果第i天持有股票，则需要判断持有的股票是否有更低的买入价格（其中-prices[i]就是成本价格dp[i][0]）

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i])

dp[i - 1][0]是之前买了股票后剩下的钱，-prices[i]是买了当日股票剩下的钱

如果第i天没有股票，则那天要卖股票

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i])

dp[i - 1][1] 是之前卖股票更挣钱，而dp[i - 1][0] + prices[i] 今天的行情不错，股票卖掉，血赚prices[i]块钱, dp[i-1][0]是我用低价买入花的钱（这里将dp[i - 1][0]换成dp[i][0]也可以，并且可能更好理解）

初始化

仅将第0天的持有股票初始化为-prices[0]，表示无论如何一定要买一支股票

遍历顺序

遍历顺序，i遍历卖出时间（范围1到n）

动态规划代码

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        L = len(prices)
        dp = [[0] * (2) for _ in range(L)]
        dp[0][0] = -prices[0]
        
        print(dp)
        for i in range(1, L):
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i])
            # 这里将dp[i - 1][0] + prices[i]改成dp[i][0]也可以，可以把dp[i][0]理解成当天的投入成本、prices[i]是当天卖价，dp[i][1]是当天利润
            # 为了将当天利润最大化，比较前一天利润与当天利润，取最大值
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i][0] + prices[i])
        print(dp)
        return dp[-1][-1]

122. 买卖股票的最佳时机 II

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的最大利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。
最大总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
最大总利润为 4 。

示例 3：

1
2
3

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0。

提示：

1 <= prices.length <= 3 * 104
0 <= prices[i] <= 104

动态规划思路一

需要有双指针，一个j指向某支股票买入天数，另一个i遍历所有售出天数；

动态规划代码一

通过 200 / 202 个通过的测试用例

超时了

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # dp[i] = max(dp[i - 1], dp[j] + prices[i] - prices[j])
        L = len(prices)
        dp = [0] * (L + 1)

        for i in range(1, L):
            for j in range(i):
                dp[i] = max(dp[i - 1], dp[j] + prices[i] - prices[j])
        
        print(dp)
        return dp[-2]

动态规划思路二

本题和[121. 买卖股票的最佳时机的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和121. 买卖股票的最佳时机一样的。

dp数组含义

dp[i][0]表示第i天持有股票所得最多现金

dp[i][1]表示第i天没有股票所得最多现金

递推公式

如果第i天持有股票，则需要判断持有的股票是否有更低的买入价格（其中-prices[i]就是成本价格dp[i][0]）

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])

dp[i - 1][0]是之前买了股票后剩下的钱，dp[i - 1][1] - prices[i]是前一次卖了股票后剩下的钱，去买当日股票剩下的钱，还是看哪次剩下的钱更多

如果第i天没有股票，则那天要卖股票

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i])

dp[i - 1][1] 是之前卖股票更挣钱，而dp[i - 1][0] + prices[i] 今天的行情不错，股票卖掉，血赚prices[i]块钱, dp[i-1][0]是我用低价买入花的钱（这里将dp[i - 1][0]换成dp[i][0]也可以，并且可能更好理解）

初始化

仅将第0天的持有股票初始化为-prices[0]，表示无论如何一定要买一支股票

dp[0][0] = -prices[0]

dp[0][1] = 0 (表示第一天剩下0元)

遍历顺序

遍历顺序，i遍历卖出时间（范围1到n）

动态规划代码二

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        L = len(prices)
        dp = [[0] * (2) for _ in range(L)]
        dp[0][0] = -prices[0]

        for i in range(1, L):
            # 因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
            # 那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是 "昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格" 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
            # dp[i - 1][1]理解成前一天卖出股票后剩下的所有钱
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])
            # 这里的dp[i][0]理解成第i天买入股票后剩下的所有钱
            # 使用dp[i - 1][0]也是可以的
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i][0] + prices[i])

        return dp[-1][-1]

把这里的

1	dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])

修改成

1	dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], 0 - prices[i])

则变成了只能一只股票只买卖一次的情况

123. 买卖股票的最佳时机 III

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

1
2
3

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

1 2	输入：prices = [1] 输出：0

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105

动态规划思路

本题和[121. 买卖股票的最佳时机的唯一区别是本题股票可以最多操作两次，指可以买两支不同的股票

在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上

dp数组含义

dp[i][0]表示第i天第一次操作持有股票所得最多现金，表示第i天才开始第一次操作，在此之前的天不进行任何操作！

dp[i][1]表示第i天第一次操作没有股票所得最多现金

dp[i][2]表示第i天第二次操作持有股票所得最多现金

dp[i][3]表示第i天第二次操作没有股票所得最多现金

递推公式

第i天，第一次买入，则需要判断持有的股票是否有更低的买入价格（其中-prices[i]就是成本价格dp[i][0]）

dp[i][0] = max(dp[i - 1][1], - prices[i])

dp[i - 1][0]是之前买了股票后剩下的钱，- prices[i]是买当日股票剩下的钱，不管是第几天，只要是第一次操作，初始的钱一定为0啊

第i天，第一次卖出

dp[i][1] = max(dp[i - 1][2], dp[i][0] + prices[i])

dp[i - 1][2] 是之前的i-1天卖股票挣的钱
dp[i - 1][1] + prices[i] 表示今天的行情不错，股票卖掉，血赚prices[i]块钱, dp[i-1][0]是我用低价买入花的钱（这里将dp[i - 1][0]换成dp[i][0]也可以，并且可能更好理解，表示当天买了股票后剩下的钱）

第i天，第二次买入，

dp[i][2] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1] - prices[i])

dp[i - 1][3]是之前买了股票后剩下的钱
dp[i - 1][1] - prices[i]是买当日股票剩下的钱，其中dp[i - 1][1]为第i-1天的第二次操作后剩下的钱

第i天，第二次卖出

dp[i][3] = max(dp[i - 1][4], dp[i][2] + prices[i])

dp[i - 1][4] 是之前的i-1天第二次操作后挣的钱
dp[i - 1][2] + prices[i] 表示今天的行情不错，股票卖掉，血赚prices[i]块钱, dp[i-1][2]是我用低价买入花的钱（这里将dp[i - 1][2]换成dp[i][2]也可以，并且可能更好理解，表示当天买了股票后剩下的钱）

初始化

仅将第0天的持有股票初始化为-prices[0]，表示无论如何一定要买一支股票

遍历顺序

遍历顺序，i遍历卖出时间（范围1到n）

动态规划代码

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # 和前两题目相比，本题一共可以买、卖再次
        # 所以dp数组的状态则不是只有一次买入&卖出两种状态
        # 而dp数组应该有4种状态
        #  1 第一次买入  2、第一次卖出   3、 第二次买入   4、 第二次不卖出
        # 而dp[i][j] 的i表示第i天而j表示上面提到的四种状态，而dp[i][j]表示第i天第j状态的最大现金

        dp = [[0] * 4 for _ in range(len(prices))]
        
        # 递推公式
        # 第i天第一次买入, 
        #  dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], - prices[i])
        # 第i天第一次卖出，
        #  dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i][0] + prices[i])
        # 第i天第二次买入
        #  dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] - prices[i])
        # 第i天第二次卖出
        #  dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i][2] + prices[i])

        # dp初始化
        # dp[0][0]为-prices[0]，dp[0][1]为0，dp[0][2]为-prices[0]，dp[0][3]为0，
        # 这里的-prices也可以认为刚开始剩下的钱是0，
        dp[0][0] = dp[0][2] = -prices[0]

        for i in range(1, len(prices)):
            # 表示是买入状态
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], - prices[i])
            # 表示为卖出状态
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i][0] + prices[i])
            # 
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] - prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i][2] + prices[i])

        return dp[-1][-1]

188. 买卖股票的最佳时机 IV

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

1
2
3

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

1 <= k <= 100
1 <= prices.length <= 1000
0 <= prices[i] <= 1000

动态规划思路

在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上

dp数组含义

dp[i][0]表示第i天第一次操作持有股票所得最多现金，表示第i天才开始第一次操作，在此之前的天不进行任何操作！

dp[i][1]表示第i天第一次操作没有股票所得最多现金

dp[i][2]表示第i天第二次操作持有股票所得最多现金

dp[i][3]表示第i天第二次操作没有股票所得最多现金

dp[i][4]表示第i天第三次操作持有股票所得最多现金

……

数组开的大小为dp[len(prices)][ 2 * k]，因为每次操作都有买入与卖出两种类型

递推公式

第i天，第一次考虑买入

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], - prices[i])

dp[i - 1][j]是上一次买了股票后剩下的钱
-prices[i]是买当日股票剩下的钱，不管是第几天，如果是第一次买入，则初始资金一定为0
只要比较下两者剩下的钱，就知道第i天是否适合作为第一次买入

第i天，非第一次考虑买入

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] - prices[i])

dp[i - 1][0]是上一次买了股票后剩下的钱
dp[i - 1][j - 1] - prices[i]是买当日股票剩下的钱，如果不是第一次买入，则初始资金为上一次卖出后的钱dp[i - 1][j - 1（i-1为上一次，j-1为卖出）
只要比较下两者剩下的钱，就知道第i天是否适合作为非第一次买入

第i天，考虑卖出

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1] + prices[i])

dp[i-1][j]为上一次卖出剩下的钱
dp[i][j - 1] + prices[i]为本次卖出剩下的钱，这里换成dp[i - 1][j - 1] 也是正确的，则表示用上一次买入后剩下的钱加上这次卖出，得到了第i天第j次卖出后剩下的钱
只要比较下两者剩下的钱，就知道第i天是否适合卖出，如果不卖出则继续保持dp[i-1][j]的金额

初始化

仅将第0天的持有股票初始化为-prices[0]，表示无论如何一定要买一支股票

遍历顺序

遍历顺序，i遍历卖出时间（范围1到n），j遍历操作的次数（范围从0到2k-1）

如果j是偶数则是买入操作，再判断是否是第一次买入

如果j是奇数则是卖出操作，

动态规划代码

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        L = len(prices)
        dp = [[0] * 2 * k for _ in range(L)]

        for i in range(2 * k):
            if i % 2 == 0:
                dp[0][i] = -prices[0]
        
        for i in range(1, L):
            for j in range(2 * k):
                # 买入操作
                if j % 2 == 0:
                  	# 如果是第一次买入，则初始资金一定为0
                    if j == 0:
                      	# dp[i-1][j]为上一次买入剩下的钱，-prices[i]为本次买入剩下的钱
                        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], -prices[i])
                    # 如果不是第一次买入，则初始资金为上一次卖出后的钱（i-1为上一次，j-1为卖出）
                    else:
                      	# dp[i-1][j]为上一次买入剩下的钱，dp[i - 1][j - 1]-prices[i]为本次买入剩下的钱
                        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] - prices[i])
                # 卖出操作
                else:
                  	# dp[i-1][j]为上一次卖出剩下的钱， dp[i][j - 1] + prices[i]为本次卖出剩下的钱
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1] + prices[i])
        print(dp)
        return dp[-1][-1]